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数量关系之余数同余问题

2023-06-06 16:11:16 |来源:公务员考试-2023省考公务员报名/时间/职位-培训-华公教育官网

余数同余问题是数学运算考查的传统重点,也是考生犯难的难点题型。在解决这类问题时,根据余数有无规律我们可以进行分类,有一定的规律可以适用我们的规律,同余口诀如下:

余数取余,和同加和,差同减差,公倍数作周期。

1)余同:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取1,表示为60n+1

(2)和同:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,则取7,表示为60n+7

(3)差同:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,则取-3,表示为60n-3

选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即例中的60n)都满足条件。

注意:n的取值范围为整数,既可以取负值,也可以取零值。

【例1】疫情期间,爱心人士向某街道捐赠了两箱防疫物资,内装物资件数相同。街道将两箱物资分别给了甲、乙两个工作组,其中甲工作组除1人拿到4件物资外,其余每人各分得5件;乙工作组除1人拿到6件物资外,其余每人各分得7件。已知每箱物资数量在50到100件之间,则每箱装有防疫物资(    )件。

A.58       B.62      C.69      D.74

解析:分析题干可知,物资件数满足除以5余4,除以7余6,即满足“差同”,所以防疫物资每箱的件数满足35n-1,因为在50—100之间,只能n=2,代入得到数字为69。故本题答案选C。

【例2】某市场调查公司3个调查组共40余人,每组都有10余人且人数各不相同。2017年重新调整分组时发现,若想分为4个人数相同的小组,至少需要新招1人;若想分为5个人数相同的小组,至少还需要新招2人。问原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人?(    )

A.2      B.3      C.4      D.5

解析:根据若想分为4个人数相同的小组,至少需要新招1人,说明总人数“除以4余3”;根据若想分为5个人数相同的小组,至少还需要新招2人,说明总人数“除以5余3”。根据口诀“余数取余,公倍数作周期,总人数可以表示为20n+3”,条件说总人数是40余人,所以总人数应该正好是43人。

在同余问题中,如果不能直接利用口诀,那么可以通过枚举的方式,找到满足条件的一个数字,然后仍然是“公倍数作周期”。这种方法看似烦琐,操作起来其实非常简单。

【例3】某次比赛报名参赛者有213人,但实际参赛人数不足200。主办方安排车辆时,每5人坐一辆车,最后多2人;安排就餐时,每8人坐一桌,最后多7人;分组比赛时,每7人一组,最后多6人。问未参赛人数占报名人数的比重在以下哪个范围内?(    )

A.低于20%      B.20%—25%之间      C.25%—30%之间      D.高于30%

解析:根据条件已知,实际参赛人数除以5余2,除以8余7,除以7余6。根据差同减差,后两个条件说明实际参赛人数可以表示为56n-1,第一个条件说明尾数应该是2或者7,因为56n-1肯定是奇数,所以尾数只能是7,另外实际人数不足200,n=1,2,3……分别代入,只有n=3时,满足条件200以内尾数是7,56×3-1=167,所以未参赛人数为213-167=46,占比为46÷213≈22%,故本题答案选B。

【例4】在1000以内,除以3余2,除以7余3,除以11余4的数有多少个?(    )

A.4      B.5      C.6      D.7

解析:这个题目三个条件没有余同、合同、差同的情况,我们用试值法来找到一个满足条件的情况。满足除以3余2的数字为2、5、8、11……一一尝试,发现第一个满足“除以7余3”的数字是17,那么同时满足前两个条件的数字可以表示为21n+17,其中的21是3和7的最小公倍数;然后我们在21n+17的数字中寻找除以11余4的数字,很容易发现59是第一个满足条件的数,所以59是满足题干三个条件的一个数字。于是,所有满足条件的数字可以表示为231n+59,其中231是3,7,11的最小公倍数。1000以内,n可以取0、1、2、3、4五个数值,一共有5个。故本题答案选B。

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